Expectation E(X), Varience Var(X), covariance Covar(X)

ความคาดหมาย ( expected value )
คือ ค่าเฉลี่ยที่เรา "expects" ว่าจะเป็นผลที่ได้ของการสุ่ม

สำหรับตัวแปรสุ่มเต็มหน่วย X ( discrete )
หรือ prob ของฟังก์ชั่น*ฟังก์ชั่น = Expectation
เช่น ค่าความคาดหมายของการโยนลูกเต๋า คือ
E(X) = 1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6
รูเล็ทอเมริกันออกได้ 38 แบบ คนแทงเลขเดียวแล้วได้จะได้เงินในอัตรา 35-ต่อ-1 (ถ้าได้จะได้เงิน 35 เท่าของที่พนันและได้เงินที่พนันรวมมา 1$ ดังนั้นจึงได้ 36 เท่าของที่พนัน). รูเล็ทออกได้ทั้งหมด 38 แบบ ค่าความคาดหมายของกำไรที่ได้ คือ
(ได้ −$1 เมื่อคุณเสีย และได้ $35 เมื่อคุณชนะ)
ดังนั้นเสีย 5 cents กว่าๆสำหรับที่แทงไปทุกๆ 1 dollar, และexpected value ของการแทง 1 dollar คือ $0.9473 ( มาจาก 1-0.0526 )

สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X ( continuous )
เมื่อ f(x) เป็น probability density function
ถ้าเป็น expected value ของ arbitrary function ของ X, g(X)

สมบัติของ expected value พิสูจน์
E(aX+b) = ∫ (aX+b)f(x) dx = a ∫ Xf(x) dx + b ∫f(x)dx = aE(X)+b
เพราะ f(x) คือ prob ดังนั้น ∫ จาก -infinity ถึง infinity ของ ∫f(x)dx = 1

expected value ยังเอามาใช้คำนวณ Varience
พิสูจน์
จาก นิยามของ Varience
Varience คือ ค่าเฉลี่ยกำลังสองของระยะจาก expected value (mean)

เมื่อ μ = E(X) คือ expected value (mean)
= E(X²-2µX+µ²)
= E(X²)-2µX+µ² แต่ µ = E(X)
= E(X²)-µ²

ก็เพราะมันเป็น Expection เลยแยกเป็น 2 case

สำหรับตัวแปรสุ่มเต็มหน่วย X ( discrete )
สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X ( continuous )

สมบัติของ Varience

Covariance

Definition :

Sample Covariance