dsin

pdf property mean=mode=median multivariate normal distribution x1,...,xN : vector is det of sigma sigma is symmetric matrix covarience matrix ( positive semidefinite ) mu is mean vector ref : wiki

ความคาดหมาย ( expected value ) คือ ค่าเฉลี่ยที่เรา "expects" ว่าจะเป็นผลที่ได้ของการสุ่ม สำหรับตัวแปรสุ่มเต็มหน่วย X ( discrete ) หรือ prob ของฟังก์ชั่น*ฟังก์ชั่น = Expectation เช่น ค่าความคาดหมายของการโยนลูกเต๋า คือ E(X) = 1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6 รูเล็ทอเมริกันออกได้ 38 แบบ คนแทงเลขเดียวแล้วได้จะได้เงินในอัตรา 35-ต่อ-1 (ถ้าได้จะได้เงิน 35 เท่าของที่พนันและได้เงินที่พนันรวมมา 1$ ดังนั้นจึงได้ 36 เท่าของที่พนัน). รูเล็ทออกได้ทั้งหมด 38 แบบ ค่าความคาดหมายของกำไรที่ได้ คือ (ได้ −$1 เมื่อคุณเสีย และได้ $35 เมื่อคุณชนะ) ดังนั้นเสีย 5 cents กว่าๆสำหรับที่แทงไปทุกๆ 1 dollar, และ expected value ของการแทง 1 dollar คือ $0.9473 ( มาจาก 1-0.0526 ) สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X ( continuous ) เมื่อ f(x) เป็น probability density function ถ้าเป็น expected value ของ arbitrary function ของ X , g(X) สมบัติของ expected value พิสูจน์ E(aX+b) = ∫ (aX+b)f(x) dx = a ∫ Xf(x) dx + b ∫f(x)dx = aE(X)+b เพราะ f(x) คือ prob ดังนั้น ∫ จาก -infinity ถึง infinity ของ ∫f(x)dx = 1 expecte...

Conditional Probability ถ้า Event A, B independent กัน จะได้ว่า หรือ P(A,B|C) = P(A|C) P(B|C) พิสูจน์ โดยใช้กฎ bayes และการเป็นอิสระต่อกัน [ ย้อนไปอ่านเรื่อง ความเป็นอิสระต่อกันได้ ที่นี่ ] จากกฎ bayes P(AB|C) = P(ABC) / P(C) ถ้า A,B,C เป็นอิสระต่อกัน P(ABC) = P(A) P(B) P(C) ดังนั้น P(AB|C) = P(A) P(B) P(C) / P(C) = [ P(A)P(C) / P(C) ][ P(B)P(C) / P(C) ] = P(A|C) P(B|C) ดังนั้น P(X1 . . . Xn |Y ) = ∏ P(Xi |Y )

สัจพจน์ของความน่าจะเป็น ( axioms of probability ) ให้ A เป็น เหตุการณ์สุ่ม ที่มี ปริภูมิตัวอย่าง เป็น S สัจพจน์ข้อแรก P(A) เป็นจำนวนจริงมีค่าระหว่าง 0 กับ 1 0 ≤ P(A) ≤ 1 สัจพจน์ข้อที่สอง P(S) = 1 สัจพจน์ข้อที่สาม สำหรับเหตุการณ์ A 1 , A 2 , .. , An ที่ไม่เกิดร่วมกัน หรือเขียนให้เข้าใจง่ายๆว่า หรือ P(E1 U E2 U ..) = P(E1)+P(E2)+.. ผลที่ได้จากสัจพจน์ 1. P(A c ) = 1-P(A) พิสูจน์ P(S) = 1 = P(A U A C ) = P(A)+(A C ) 2. พิสูจน์ A U B = AB U AB C U A C B P(A U B) = P(AB)+P(AB C )+P(A C B) P(A) = P(AB)+P(AB C ), P(B) = P(AB)+P(A C B) หมายเหตุ ที่เขียนติดกัน เช่น AB คือ A ∩ B น้ะจ้ะ Statical Independent ถ้า A, B, C เป็นอิสระต่อกัน ( Statical Independent ) จะได้ว่า P(ABC) = P(A)P(B)P(C) หรือขยายไปถึง A 1 , ..., A n เลยก็ได้ ซึ่งนี่ก็คือ กฎการคูณ นั่นเอง